Transformaciones en 3D La representación de las transformaciones en tres dimensiones es una generalización de la de dos dimensiones. Los puntos se representan en coordenadas homogéneas como cuartetos y las matrices de transformación son de 4x4. Usaremos el sistema de coordenadas tridimensional de mano derecha, como se muestra en la figura. Las transformaciones se clasifican de la siguiente manera: Rígidas - Mantienen ángulos y longitudes. Consisten de traslaciones y rotaciones solamente. Afines - Conservan solo el paralelismo de líneas. Secuencias de rotaciones, traslaciones y escalamientos. No lineales - Deforman los objetos. El valor de dos coordenadas se calcula en función de la tercera. Se pueden usar expresiones lineales, cuadráticas, etc. Pueden modificar la topología del objeto. Traslación Nos permitirá cambiar la posición de un objeto, moviéndolo en línea recta desde una posición inicial a la posición final.

 Escalación.

La matriz para la transformación de escalación de una posición P = (x, y, z) con respecto del origen de las coordenadas. Consiste en cambiar el tamaño de un objeto.

Rotación.

Para generar una transformación de rotación, debemos designar un eje de rotación respecto del cual girara el objeto, y la cantidad de rotación angular, es decir, un ángulo (θ).

Una rotación tridimensional se puede especificar alrededor de cualquier línea en el espacio.

Los ejes de rotación más fáciles de manejar son aquellos paralelos a los ejes de coordenadas.

Los ángulos de rotación positiva producen giros en el sentido opuesto a las manecillas del reloj con respecto al eje de una coordenada, si el observador se encuentra viendo a lo largo de la mitad positiva del eje hacia el origen de coordenadas.

Sesgado.

El sesgado es un tipo de transformación no rígida, pues existe una deformación del objeto original al aplicar dicha transformación. Existen dos tipos de sesgo: sesgo horizontal y sesgo vertical. 

Sesgo horizontal. Las coordenadas adyacentes al eje x permanecen fijas, los valores de y no cambian. 

Sesgo vertical. Las coordenadas adyacentes al eje y permanecen fijas, los valores de x no cambian. 

Perspectiva

Para obtener una proyección en perspectiva de un objeto tridimensional, se proyectan puntos a lo largo de líneas de proyección se interceptan en el de centro de proyección.

En el centro de proyección está en el eje z negativo a una distancia d detrás del plano de proyección. Puede seleccionarse cualquier posición para el centro de proyección, pero la elección de una posición a lo largo del eje z simplifica los cálculos en las ecuaciones de transformación. 

Podemos obtener las ecuaciones de transformaciones de una proyección en perspectiva a partir de las ecuaciones paramétricas que describen la línea de proyección de esta línea.

X’ = x –xu

Y’ = y- yu

Z’ = z-(z + d) u

El parámetro u toma los valores de 0 a 1 y las coordenadas (x’, y’, z’) representan cualquier posición situada a lo largo de la línea de proyección. Cuando u = 0.

as ecuaciones producen el punto P en las coordenadas (x, y, z). En el otro extremo de la línea u = 1 y se tienen las coordenadas del centro de proyección, (0, 0,-d). Para obtener las coordenadas en el plano de proyección. Se hace z’ = 0 y se resuelven para determinar el parámetro u:

Este valor del parámetro u produce la interacción de la línea de proyección con el plano de proyección en (xp, yp, 0). Al sustituir las ecuaciones, se obtienen las ecuaciones de transformación de perspectiva.

Mediante una representación en coordenadas homogéneas tridimensionales, podemos escribir la transformación de la perspectiva en forma matricial.

Las coordenadas de proyección en el plano de proyección se calculan a partir de las coordenadas homogéneas como:

[xp yp zp 1] = [xh/w yh/w zh/w 1]

Cuando un objeto tridimensional se proyecta sobre un plano mediante ecuaciones de transformaciones de perspectiva, cualquier conjunto de líneas paralelas del objeto que no sean paralelas al plano se proyectan en líneas convergentes.